Eratóstenes mediu o tamanho da Terra a partir de duas sombras

No século III a.C., os gregos instruídos já aceitavam que a Terra era uma esfera, mas ninguém tinha como dizer qual era o seu tamanho — o método óbvio, dar a volta ao mundo ou de outra forma percorrer fisicamente todo o planeta, estava muito além da tecnologia e da organização da época. Eratóstenes, à frente da Biblioteca de Alexandria, tinha acesso a relatos de viajantes e registros geográficos, mas nenhum instrumento capaz de medir diretamente uma curva tão grande.

Ele dispunha de um fato útil: ao meio-dia do solstício de verão em Siene (atual Assuã), a luz do sol supostamente chegava direto ao fundo de um poço vertical profundo, o que significa que o sol estava exatamente a pino ali naquele momento exato. Ninguém antes dele tinha pensado em combinar essa curiosidade isolada de viajantes com uma segunda medição comum, feita em outro lugar no mesmo momento.

No mesmo meio-dia do solstício, Eratóstenes mediu o ângulo da sombra projetada por uma vara vertical (um gnômon) em Alexandria e encontrou cerca de 7,2 graus em relação à vertical — o poço de Siene provava que o sol estava a zero graus ali. Como Alexandria e Siene ficavam aproximadamente no mesmo meridiano, essa diferença de 7,2 graus era exatamente a curvatura da Terra entre as duas cidades, um quinquagésimo de um círculo completo; multiplicar essa fração pela distância entre elas, medida a passos por bematistas profissionais em cerca de 5.000 estádios, dava a circunferência total da Terra.

Dois ângulos locais de sombra no mesmo meio-dia de solstício em um mesmo meridiano: a diferença de 7,2 graus, um quinquagésimo de um círculo, multiplicada pela distância medida a passos, dava a circunferência.

A luz do sol chega em raios paralelos, então as diferenças de ângulo entre dois pontos no mesmo momento vêm apenas da curvatura da superfície.

Uma diferença de ângulo de 7,2 graus é um quinquagésimo de um círculo, o que fornece uma fração simples para multiplicar pela distância.

Usar um ponto conhecido de ângulo zero e uma medição local com uma vara evitou qualquer necessidade de percorrer o planeta.

Quando uma grandeza é grande demais para ser medida diretamente, encontre duas leituras baratas que difiram apenas por causa dessa grandeza e calcule-a a partir da diferença entre elas.

O resultado de Eratóstenes, de aproximadamente 250.000 estádios, converte-se, dependendo de qual comprimento de estádio antigo é usado, para algo entre cerca de 39.000 e 46.000 km, contra uma circunferência equatorial verdadeira de 40.075 km — um resultado dentro de alguns por cento do correto, obtido com uma vara, um poço e uma distância medida a passos.