Ératosthène a mesuré la taille de la Terre à partir de deux ombres

Au IIIe siècle avant notre ère, les Grecs instruits admettaient que la Terre était une sphère, mais personne n'avait les moyens de dire quelle était sa taille — la méthode évidente, faire le tour du globe ou le parcourir physiquement d'une autre manière, dépassait de loin les capacités techniques et organisationnelles de l'époque. Ératosthène, à la tête de la bibliothèque d'Alexandrie, avait accès aux récits de voyageurs et aux archives géographiques, mais ne disposait d'aucun instrument capable de mesurer directement une courbe d'une telle ampleur.

Il disposait d'un fait utile : à midi au solstice d'été à Syène (l'actuelle Assouan), la lumière du soleil atteignait, disait-on, le fond d'un puits vertical profond, ce qui signifiait que le soleil se trouvait exactement à la verticale à cet endroit à ce moment précis. Personne avant lui n'avait eu l'idée d'associer cette curiosité isolée rapportée par des voyageurs à une seconde mesure ordinaire prise ailleurs au même instant.

Au même midi du solstice, Ératosthène mesura l'angle de l'ombre projetée par un bâton vertical (un gnomon) à Alexandrie et le trouva décalé d'environ 7,2 degrés par rapport à la verticale — le puits de Syène prouvait que le soleil y était à zéro degré. Comme Alexandrie et Syène se trouvaient à peu près sur le même méridien, cet écart de 7,2 degrés correspondait exactement à la courbure de la Terre entre les deux villes, soit un cinquantième d'un cercle complet ; en multipliant cette fraction par la distance qui les séparait, mesurée au pas par des bématistes professionnels à environ 5 000 stades, on obtenait la circonférence totale de la Terre.

Deux angles d'ombre locaux au même midi du solstice sur un même méridien : la différence de 7,2 degrés, un cinquantième de cercle, multipliée par la distance mesurée au pas, donnait la circonférence.

La lumière du soleil arrive parallèlement, de sorte que les différences d'angle entre deux points au même instant ne proviennent que de la courbure de la surface.

Une différence d'angle de 7,2 degrés représente un cinquantième de cercle, ce qui donne une fraction simple à multiplier par la distance.

L'utilisation d'un point bien connu à angle nul et d'une mesure locale au bâton évitait toute nécessité de parcourir la planète.

Lorsqu'une grandeur est trop grande pour être mesurée directement, trouvez deux relevés peu coûteux qui ne diffèrent qu'à cause de cette grandeur, et calculez-la à partir de leur différence.

Le résultat d'Ératosthène, d'environ 250 000 stades, se convertit, selon la longueur du stade antique utilisée, en une valeur située entre environ 39 000 et 46 000 km, à comparer à la circonférence équatoriale réelle de 40 075 km — un résultat à quelques pour cent de la valeur correcte, obtenu avec un bâton, un puits et une distance mesurée au pas.