Eratóstenes midió el tamaño de la Tierra a partir de dos sombras

Hacia el siglo III a. C., los griegos instruidos aceptaban que la Tierra era una esfera, pero nadie tenía forma de decir cuán grande era: el método obvio, circunnavegar o recorrer físicamente todo el planeta de algún otro modo, estaba muy fuera del alcance de la tecnología y la organización de la época. Eratóstenes, al frente de la Biblioteca de Alejandría, tenía acceso a informes de viajeros y registros geográficos, pero ningún instrumento capaz de medir directamente una curva de esa magnitud.

Disponía de un dato útil: al mediodía del solsticio de verano en Siene (la actual Asuán), la luz del sol llegaba, según los informes, hasta el fondo de un pozo vertical profundo, lo que significaba que el sol estaba directamente sobre ese lugar en ese preciso momento. Nadie antes que él había pensado en combinar esa curiosidad aislada de los viajeros con una segunda medición ordinaria tomada en otro lugar en el mismo momento.

Al mediodía de ese mismo solsticio, Eratóstenes midió el ángulo de la sombra proyectada por una vara vertical (un gnomon) en Alejandría y halló que se desviaba de la vertical unos 7,2 grados; el pozo de Siene demostraba que allí el sol estaba a cero grados. Dado que Alejandría y Siene se hallaban aproximadamente en el mismo meridiano, esa diferencia de 7,2 grados era exactamente la curvatura de la Tierra entre ambas ciudades, una cincuentava parte de un círculo completo; multiplicar esa fracción por la distancia entre ellas, medida a pasos por bematistas profesionales en unos 5.000 estadios, daba la circunferencia total de la Tierra.

Dos ángulos de sombra locales al mediodía del mismo solsticio en un mismo meridiano: la diferencia de 7,2 grados, una cincuentava parte de un círculo, multiplicada por la distancia medida a pasos, daba la circunferencia.

La luz del sol llega en rayos paralelos, de modo que las diferencias de ángulo entre dos puntos en el mismo momento provienen únicamente de la curvatura de la superficie.

Una diferencia de ángulo de 7,2 grados es una cincuentava parte de un círculo, lo que da una fracción sencilla por la que multiplicar la distancia.

El uso de un punto conocido de ángulo cero y de una medición local con una vara evitó cualquier necesidad de recorrer el planeta.

Cuando una cantidad es demasiado grande para medirla directamente, hay que buscar dos lecturas baratas que difieran solo por causa de esa cantidad y calcularla a partir de su diferencia.

El resultado de Eratóstenes, de unos 250.000 estadios, se convierte, según qué longitud de estadio antiguo se utilice, en algo entre unos 39.000 y 46.000 km frente a una circunferencia ecuatorial real de 40.075 km: un resultado dentro de unos pocos puntos porcentuales del valor correcto, obtenido con una vara, un pozo y una distancia medida a pasos a pie.