벨 연구소의 켈리 기준: 파산 없이 우위를 지수적 성장으로 바꾸다

1956년, 텔레비전 신호 전송을 연구하던 벨 연구소의 물리학자 존 L. 켈리 주니어는 도박꾼의 문제를 정보 이론의 언어로 다시 정식화했다. 그의 예시에서 경마에 '전용 전선'을 가진 베터는 제시된 배당률과 무관하게 실제 결과 확률을 알고 있다. 켈리는 베터가 한 번의 베팅에서 얼마나 딸 수 있는지가 아니라, 평생의 베팅에 걸쳐 자본이 얼마나 빠르게 성장할 수 있는지를 물었고, 부의 지수적 성장률을 밑이 2인 로그로 측정한 값 G로 정의했다.

그 답은 함정을 드러냈다. 매번 전 재산을 베팅하면 기대 부는 극대화되지만, 켈리가 표현한 대로 그 베터는 '아마도 파산할 것이며, 사실 무한히 계속한다면 확률 1로 파산할 것'이었다. 대신 베터는 기대 로그 부가 극대화되도록 선택된 자본의 일부를 베팅해야 한다. 바로 그 비율에서 성장률은 섀넌의 정보 전송률과 같아지며, 확률 1로 그 베터는 결국 다르게 배분하는 누구보다 앞서게 된다.

켈리 자신은 이 이론이 '투자자가 이용할 수 있는 내부 정보의 총체'에 부합한다고 언급했다. 에드워드 소프는 그 지침을 문자 그대로 받아들였다. MIT의 IBM 704를 사용해 블랙잭을 이길 수 있음을 증명하고 1961년 미국 국립과학원 회보에 유리한 전략을 발표한 뒤, 소프는 카운트가 유리할 때 자금의 얼마를 걸지 결정하기 위해 켈리 기준을 사용했고, 그런 다음 같은 기계를 카지노에서 시장으로 옮겼다.

프린스턴 뉴포트 파트너스의 공동 창립자로서 소프는 거의 20년 동안 이 규칙을 운용했다. 그 펀드는 1969년부터 1988년까지 연 19.1%로 복리 성장했으며, 이는 같은 기간 S&P 500의 두 배가 넘었고, 손실을 낸 해가 한 번도 없었다. 우위를 찾는 일과 베팅 규모를 정하는 일은 별개의 분야였고, 두 번째가 첫 번째를 살아 있게 한 것이었다.

기대 이익이 아니라 기대 로그 자본을 극대화하라

로그는 반복되는 베팅에 걸쳐 더해지므로, 큰 수의 법칙이 성장률에 적용된다. 기대 부에는 적용되지 않으며, 그래서 기대 부를 극대화하면 파산이 허용된다.

과도한 베팅은 양의 우위를 음의 성장률로 바꾼다. 그 논문은 베터가 유리한 배당률을 가지고도 자금의 너무 많은 부분을 베팅함으로써 확률 1로 파산할 수 있음을 보여준다.

성장률 한계는 베팅 규모를 정보 우위 자체와 연결한다. 전용 전선이 더 좋을수록 감수할 가치가 있는 비율이 커지므로, 규모 결정은 측정 문제가 된다.

수십 년 동안 반복적으로 거래하는 펀드에게 이 기준은 생존을 결정하는 질문에 답한다. 즉, 낙폭이 게임을 끝내지 않도록 얼마나 걸 수 있는가이다.

우위를 가지는 것과 그것을 복리로 키우며 살아남는 것은 다른 문제다. 한 번의 베팅에서 기대 이익을 극대화하는 것은 여전히 파산으로 이어진다. 기대 로그 부를 극대화하는 것은 실제로 살아가는 경로를 극대화한다.

이 기준은 벨 연구소에서 도박을 거쳐 퀀트 금융으로 퍼졌다. 소프의 블랙잭 전략은 1961년 PNAS에, 1966년에는 『딜러를 이겨라』에 실렸고, 프린스턴 뉴포트가 1969년부터 1988년까지 손실 없이 19.1%로 복리 성장한 것은 로그 최적 규모 결정을 퀀트 산업의 표준으로 만들었다. 그 펀드는 전략 때문이 아니라 무관한 직원의 증권 규제 문제로 1988년에 종료되었다. 켈리의 이름은 이제 시장, 스포츠 베팅, 심지어 일일 레버리지 설계에서의 포지션 규모 논쟁에 붙어 있다.