ベル研究所のケリー基準は、優位性を破滅させることなく指数関数的成長に変えた

1956年、テレビ信号伝送に取り組んでいたベル研究所の物理学者ジョン・L・ケリー・ジュニアは、ギャンブラーの問題を情報理論の言葉で捉え直した。彼の例では、競馬に関する「私設回線」を持つ賭け手は真の結果確率を知っているが、提示されるオッズはそれを反映していない。ケリーが問うたのは、賭け手が一回の賭けでどれだけ勝てるかではなく、一生涯の賭けを通じて資本がどれほど速く成長しうるかであり、Gを2を底とする対数で測った富の指数関数的成長率と定義した。

その答えは罠を露呈させた。毎回全資金を賭けることは期待富を最大化するが、ケリーが述べたように、賭け手は「おそらく破産し、実際、無限に続ければ確率1で破産する」だろう。代わりに、賭け手は富の期待対数が最大化されるように選ばれた資本の一部を賭けるべきである。まさにその割合において、成長率はシャノンの情報伝送速度に等しくなり、確率1でその賭け手は最終的に異なる配分をする誰よりも先んじる。

ケリー自身は、この理論が「投資家が利用できる内部情報の全体」に適合すると述べていた。エドワード・ソープはその指示を文字通りに受け取った。MITのIBM 704を使ってブラックジャックが打ち負かせることを証明し、1961年に『米国科学アカデミー紀要』で有利な戦略を発表した後、ソープはカウントが有利なときに資金のどれだけを危険にさらすかを決めるためにケリー基準を用いた——そして同じ仕組みをカジノから市場へと移した。

プリンストン・ニューポート・パートナーズの共同創業者として、ソープはこのルールをほぼ20年間運用した。ファンドは1969年から1988年まで年率19.1%で複利成長し、同期間のS&P 500の2倍以上で、負けた年は一度もなかった。優位性の追求と賭け金のサイズ決定は別々の分野であり、第二のものが第一のものを存続させたのである。

期待利益ではなく、期待対数資本を最大化する

対数は繰り返しの賭けに対して加法的であるため、大数の法則が成長率に適用される。期待富はそうではないため、それを最大化することは破滅を許すのである。

過剰な賭けは正の優位性を負の成長率に変える——論文は、賭け手が有利なオッズを持っていても、資金のあまりに多くを賭けることで確率1で破産しうることを示している。

成長率の上限は賭け金のサイズを情報上の優位性そのものに結びつける。私設回線が優れているほど、危険にさらす価値のある割合は大きくなり、サイズ決定を測定問題にするのである。

数十年にわたり繰り返し取引を行うファンドにとって、この基準は存続を決める問いに答える。すなわち、ドローダウンがゲームを終わらせないようにするには、どれだけ賭けられるのか、という問いである。

優位性を持つことと、それを複利で増やすまで生き残ることは別の問題である。一回の賭けの期待利益を最大化することは依然として破産につながるが、期待対数富を最大化することは、実際に生きる道を最大化するのである。

この基準はベル研究所からギャンブルを経て定量金融へと広がった。ソープのブラックジャック戦略は1961年にPNASに登場し、1966年には『Beat the Dealer』が出版され、プリンストン・ニューポートの1969年から1988年までの負け年のない19.1%の複利は、対数最適なサイズ決定をクオンツ業界の標準とした。ファンドは1988年、戦略とは無関係の従業員の証券規制上の問題により終了した。ケリーの名は現在、市場、スポーツ賭博、さらには日次レバレッジ設計におけるポジションサイズ決定の議論に結びつけられている。