貝爾實驗室的凱利準則將優勢轉化為不會破產的指數成長

1956年，任職於貝爾實驗室、研究電視訊號傳輸的物理學家小約翰·L·凱利（John L. Kelly Jr.），以資訊理論的語言重新表述了賭徒的問題。在他的例子中，一位對賽馬擁有「私人電報線」的下注者知道真實的結果機率，而市場提供的賠率並未反映這一點。凱利問的不是下注者能在單次下注中贏多少，而是資本在漫長的下注生涯中能以多快速度成長，並將G定義為以二為底對數衡量的財富指數成長率。

答案揭示了一個陷阱。每次都押上全部資金能最大化期望財富，然而正如凱利所言，下注者「很可能會破產，事實上，若他無限期地持續下去，破產的機率為一。」相反地，下注者應投入一個經過選擇的資本比例，使財富的期望對數最大化。恰好在那個比例上，成長率等於夏農的資訊傳輸率，且該下注者最終以機率一領先任何採取不同配置的人。

凱利本人指出，該理論契合「投資者可獲得的全部內部資訊」。愛德華·索普（Edward Thorp）字面地採納了這項指示。索普利用麻省理工學院的IBM 704證明二十一點可以被擊敗，並於1961年在《美國國家科學院院刊》發表了一套有利策略，隨後用凱利準則決定在牌數有利時應冒多少資金風險——接著把同一套機制從賭場搬到市場。

作為普林斯頓紐波特合夥公司（Princeton Newport Partners）的共同創辦人，索普運行了這條法則近二十年：該基金從1969年到1988年以每年19.1%複利成長，超過同期標普500指數的兩倍，且從未有過虧損年度。尋找優勢與決定下注規模是兩門獨立的學科，而正是第二門讓第一門得以存續。

最大化期望對數資本，而非期望利潤

對數在重複下注之間具有可加性，因此大數法則適用於成長率；期望財富則不然，這正是最大化期望財富會容許破產的原因。

過度下注會把正優勢轉化為負成長率——該論文顯示，下注者即使擁有有利賠率，仍可能因押上過多資金而以機率一破產。

成長率上限把下注規模與資訊優勢本身綁在一起：私人電報線越好，值得冒險的比例就越大，使部位規模成為一個測量問題。

對於數十年間反覆交易的基金而言，該準則回答了決定存亡的問題：能押上多少，才能使回撤永遠不會終結這場賽局。

擁有優勢與存活到能複利成長是兩個不同的問題。最大化單次下注的期望利潤仍會破產；最大化期望對數財富則能最大化你實際走過的路徑。

該準則從貝爾實驗室經由賭博傳播到量化金融：索普的二十一點策略於1961年發表於《美國國家科學院院刊》，並於1966年收錄於《擊敗莊家》（Beat the Dealer）；普林斯頓紐波特從1969年到1988年以19.1%複利成長且無虧損年度，使對數最優部位規模成為量化產業的標準。該基金於1988年結束，原因是另一名員工的證券監管問題，而非策略本身。如今凱利之名與市場、體育博彩乃至每日槓桿設計中的部位規模辯論緊密相連。