O critério de Kelly, dos Bell Labs, transformou uma vantagem em crescimento exponencial sem a ruína

Em 1956, John L. Kelly Jr., um físico dos Bell Labs que trabalhava com transmissão de sinais de televisão, reformulou o problema de um apostador na linguagem da teoria da informação. Em seu exemplo, um apostador com um 'fio privado' sobre corridas de cavalos conhece as verdadeiras probabilidades dos resultados, enquanto as cotações oferecidas não as refletem. Kelly não perguntou quanto o apostador poderia ganhar em uma única aposta, mas com que rapidez o capital poderia crescer ao longo de uma vida de apostas, definindo G como a taxa de crescimento exponencial da riqueza medida com logaritmos de base dois.

A resposta expôs uma armadilha. Apostar todo o bankroll a cada vez maximiza a riqueza esperada, mas, como Kelly colocou, o apostador 'provavelmente estaria falido e, de fato, estaria falido com probabilidade um se continuasse indefinidamente'. Em vez disso, o apostador deveria apostar uma fração do capital escolhida de modo a maximizar o logaritmo esperado da riqueza. Exatamente nessa fração, a taxa de crescimento é igual à taxa de transmissão de informação de Shannon e, com probabilidade um, esse apostador acaba por se adiantar a qualquer um que aloque de forma diferente.

O próprio Kelly observou que a teoria se ajustava 'à totalidade da informação privilegiada disponível ao investidor'. Edward Thorp levou essa instrução ao pé da letra. Depois de usar o IBM 704 do MIT para provar que o blackjack podia ser batido e de publicar uma estratégia favorável no Proceedings of the National Academy of Sciences em 1961, Thorp usou o critério de Kelly para decidir quanto do seu bankroll arriscar quando a contagem era favorável — e então levou a mesma maquinaria do cassino para o mercado.

Como cofundador da Princeton Newport Partners, Thorp aplicou a regra por quase duas décadas: o fundo compôs a 19,1% ao ano de 1969 a 1988, mais que o dobro do S&P 500 no período, e nunca teve um ano de perda. A caça à vantagem e o dimensionamento das apostas eram disciplinas separadas, e a segunda é o que manteve a primeira viva.

Maximizar o logaritmo esperado do capital, não o lucro esperado

O logaritmo é aditivo ao longo de apostas repetidas, então a lei dos grandes números se aplica às taxas de crescimento; a riqueza esperada não é, e é por isso que maximizá-la permite a ruína.

Apostar em excesso converte uma vantagem positiva em taxa de crescimento negativa — o artigo mostra que um apostador pode ter cotações favoráveis e ainda assim, com probabilidade um, falir por apostar demais do bankroll.

O limite da taxa de crescimento vincula o tamanho da aposta à própria vantagem de informação: quanto melhor o fio privado, maior a fração que vale a pena arriscar, tornando o dimensionamento um problema de medição.

Para um fundo que faz negociações repetidas por décadas, o critério responde à pergunta que decide a sobrevivência: quanto pode ser apostado para que o drawdown nunca encerre o jogo.

Ter uma vantagem e sobreviver para compô-la são problemas diferentes. Maximizar o lucro esperado de uma única aposta ainda leva à falência; maximizar a riqueza logarítmica esperada maximiza o caminho que você de fato vive.

O critério se espalhou dos Bell Labs pelo jogo até as finanças quantitativas: a estratégia de blackjack de Thorp apareceu na PNAS em 1961 e em Beat the Dealer em 1966, e a composição de 19,1% da Princeton Newport de 1969 a 1988 sem um ano de perda tornou o dimensionamento log-ótimo o padrão da indústria quant. O fundo encerrou em 1988 por causa de um problema de regulação de valores mobiliários de um funcionário não relacionado, não por causa da estratégia. O nome de Kelly está agora ligado a debates sobre dimensionamento de posições nos mercados, em apostas esportivas e até no desenho de alavancagem diária.