Bell Labs' Kelly-Kriterium verwandelte einen Vorteil in exponentielles Wachstum ohne Ruin

1956 formulierte John L. Kelly Jr., ein Physiker bei Bell Labs, der an der Übertragung von Fernsehsignalen arbeitete, das Problem eines Spielers in der Sprache der Informationstheorie neu. In seinem Beispiel kennt ein Wettender mit einem „privaten Draht“ zu Pferderennen die wahren Ergebniswahrscheinlichkeiten, während die angebotenen Quoten sie nicht widerspiegeln. Kelly fragte nicht, wie viel der Wettende bei einer einzelnen Wette gewinnen könnte, sondern wie schnell das Kapital über ein ganzes Wettleben hinweg wachsen kann, und definierte G als die exponentielle Wachstumsrate des Vermögens, gemessen mit Logarithmen zur Basis zwei.

Die Antwort legte eine Falle offen. Setzt man jedes Mal das gesamte Kapital, maximiert das den erwarteten Reichtum, doch wie Kelly es formulierte, „würde der Wettende wahrscheinlich pleite sein und, tatsächlich, mit Wahrscheinlichkeit eins pleite sein, wenn er unbegrenzt weitermachte“. Stattdessen sollte der Wettende einen Bruchteil des Kapitals einsetzen, der so gewählt ist, dass der erwartete Logarithmus des Vermögens maximiert wird. Genau bei diesem Bruchteil entspricht die Wachstumsrate Shannons Rate der Informationsübertragung, und mit Wahrscheinlichkeit eins zieht dieser Wettende schließlich an jedem vorbei, der anders aufteilt.

Kelly selbst bemerkte, die Theorie passe auf „die Gesamtheit der dem Investor verfügbaren Insiderinformationen“. Edward Thorp nahm diese Anweisung wörtlich. Nachdem er mit MITs IBM 704 bewiesen hatte, dass Blackjack zu schlagen ist, und 1961 in den Proceedings of the National Academy of Sciences eine vorteilhafte Strategie veröffentlicht hatte, nutzte Thorp das Kelly-Kriterium, um zu entscheiden, welchen Teil seines Kapitals er bei günstiger Zählung riskierte – und übertrug dann denselben Apparat vom Casino auf den Markt.

Als Mitbegründer von Princeton Newport Partners wandte Thorp die Regel fast zwei Jahrzehnte lang an: Der Fonds verzinst sich von 1969 bis 1988 mit 19,1 % pro Jahr, mehr als das Doppelte des S&P 500 in diesem Zeitraum, und hatte nie ein Verlustjahr. Die Suche nach dem Vorteil und die Einsatzbemessung waren getrennte Disziplinen, und die zweite hielt die erste am Leben.

Erwartetes Log-Kapital maximieren, nicht erwarteten Gewinn

Der Logarithmus ist über wiederholte Wetten additiv, sodass das Gesetz der großen Zahlen auf Wachstumsraten anwendbar ist; auf den erwarteten Reichtum ist es das nicht, weshalb seine Maximierung den Ruin zulässt.

Übermäßiges Setzen verwandelt einen positiven Vorteil in eine negative Wachstumsrate – die Arbeit zeigt, dass ein Wettender günstige Quoten haben und dennoch mit Wahrscheinlichkeit eins pleitegehen kann, indem er zu viel des Kapitals setzt.

Die Wachstumsratenschranke verknüpft die Einsatzhöhe mit dem Informationsvorsprung selbst: Je besser der private Draht, desto größer der Bruchteil, den es wert ist zu riskieren, wodurch die Bemessung zu einem Messproblem wird.

Für einen Fonds, der über Jahrzehnte wiederholt handelt, beantwortet das Kriterium die Frage, die über das Überleben entscheidet: Wie viel kann eingesetzt werden, damit der Drawdown das Spiel nie beendet.

Einen Vorteil zu haben und lange genug zu überleben, um ihn zu verzinsen, sind verschiedene Probleme. Die Maximierung des erwarteten Gewinns einer einzelnen Wette führt immer noch in den Ruin; die Maximierung des erwarteten Log-Vermögens maximiert den Pfad, den man tatsächlich lebt.

Das Kriterium verbreitete sich von Bell Labs über das Glücksspiel in die quantitative Finanzwelt: Thorps Blackjack-Strategie erschien 1961 in PNAS und 1966 in Beat the Dealer, und der Zinseszins von Princeton Newport von 19,1 % zwischen 1969 und 1988 ohne Verlustjahr machte die log-optimale Einsatzbemessung zum Standard der Quant-Branche. Der Fonds endete 1988 wegen der Wertpapierregulierungsprobleme eines unbeteiligten Mitarbeiters, nicht wegen der Strategie. Kellys Name ist heute mit Debatten über die Positionsgrößenbemessung an den Märkten, bei Sportwetten und sogar bei der Gestaltung täglicher Hebel verbunden.