Le critère de Kelly de Bell Labs a transformé un avantage en croissance exponentielle sans ruine

En 1956, John L. Kelly Jr., physicien aux Bell Labs travaillant sur la transmission des signaux de télévision, a reformulé un problème de parieur dans le langage de la théorie de l'information. Dans son exemple, un parieur disposant d'un « fil privé » sur les courses de chevaux connaît les probabilités réelles des résultats alors que les cotes proposées ne les reflètent pas. Kelly ne demandait pas combien le parieur pouvait gagner sur un seul pari, mais à quelle vitesse le capital pouvait croître sur une vie de paris, en définissant G comme le taux de croissance exponentielle de la richesse mesuré avec des logarithmes de base deux.

La réponse a révélé un piège. Miser l'intégralité de la bankroll à chaque fois maximise la richesse espérée, mais, comme Kelly l'a formulé, le parieur « serait probablement ruiné et, en fait, serait ruiné avec une probabilité de un s'il continuait indéfiniment ». Au lieu de cela, le parieur devrait placer une fraction du capital choisie de manière à maximiser le logarithme espéré de la richesse. À exactement cette fraction, le taux de croissance égale le taux de transmission de l'information de Shannon, et avec une probabilité de un, ce parieur finit par prendre l'avantage sur quiconque alloue différemment.

Kelly lui-même a noté que la théorie correspondait à « la totalité de l'information interne disponible pour l'investisseur ». Edward Thorp a pris cette instruction au pied de la lettre. Après avoir utilisé l'IBM 704 du MIT pour prouver que le blackjack pouvait être battu et publié une stratégie favorable dans les Proceedings of the National Academy of Sciences en 1961, Thorp a utilisé le critère de Kelly pour décider quelle part de sa bankroll risquer lorsque le compte était favorable — puis a transposé le même mécanisme du casino au marché.

En tant que cofondateur de Princeton Newport Partners, Thorp a appliqué la règle pendant près de deux décennies : le fonds a composé à 19,1 % par an de 1969 à 1988, plus du double du S&P 500 sur la période, et n'a jamais connu d'année perdante. La recherche d'avantages et le dimensionnement des mises étaient des disciplines distinctes, et c'est la seconde qui a maintenu la première en vie.

Maximiser le capital logarithmique espéré, et non le profit espéré

Le logarithme est additif sur des paris répétés, de sorte que la loi des grands nombres s'applique aux taux de croissance ; ce n'est pas le cas de la richesse espérée, ce qui explique que la maximiser permette la ruine.

Le surdimensionnement des mises transforme un avantage positif en taux de croissance négatif — l'article montre qu'un parieur peut avoir des cotes favorables et néanmoins, avec une probabilité de un, se ruiner en misant une trop grande partie de la bankroll.

La borne du taux de croissance lie la taille de la mise à l'avantage informationnel lui-même : meilleur est le fil privé, plus grande est la fraction qu'il vaut la peine de risquer, ce qui fait du dimensionnement un problème de mesure.

Pour un fonds réalisant des transactions répétées pendant des décennies, le critère répond à la question qui décide de la survie : combien peut-on engager pour que le drawdown ne mette jamais fin à la partie.

Disposer d'un avantage et survivre assez longtemps pour le composer sont deux problèmes différents. Maximiser le profit espéré d'un seul pari mène encore à la ruine ; maximiser la richesse logarithmique espérée maximise la trajectoire que l'on vit réellement.

Le critère s'est répandu des Bell Labs au jeu, puis à la finance quantitative : la stratégie de blackjack de Thorp est parue dans PNAS en 1961 et dans Beat the Dealer en 1966, et la composition à 19,1 % de Princeton Newport de 1969 à 1988, sans année perdante, a fait du dimensionnement log-optimal la norme de l'industrie quantitative. Le fonds a cessé ses activités en 1988 à cause d'un problème de réglementation des valeurs mobilières lié à un employé sans rapport avec la stratégie, et non à cause de la stratégie. Le nom de Kelly est aujourd'hui associé aux débats sur le dimensionnement des positions sur les marchés, dans les paris sportifs et même dans la conception de l'effet de levier quotidien.