贝尔实验室的凯利准则：将优势转化为指数级增长而不致破产

1956年，在贝尔实验室研究电视信号传输的物理学家小约翰·L·凯利，用信息论的语言重新表述了一个赌徒问题。在他的例子中，一位拥有赛马"私人线路"的下注者知道真实的结果概率，而市场开出的赔率并未反映这一点。凯利问的不是下注者在单次下注中能赢多少，而是资本在一生的下注中能以多快的速度增长，他将G定义为以二为底的对数衡量的财富指数增长率。

答案揭示了一个陷阱。每次押上全部资金可以最大化期望财富，但正如凯利所说，下注者"很可能会破产，事实上，如果他无限期地继续下去，将以概率一破产。"相反，下注者应投入一定比例的资本，使财富的期望对数最大化。恰好在该比例下，增长率等于香农的信息传输速率，并且以概率一，该下注者最终会领先于任何采用不同配置方式的人。

凯利本人指出，该理论契合"投资者可获得的全部内幕信息。"爱德华·索普字面地采纳了这一指示。在利用麻省理工学院的IBM 704证明二十一点可以被击败、并于1961年在《美国国家科学院院刊》上发表有利策略之后，索普使用凯利准则来决定在计数有利时应冒多少资金风险——随后将同样的机制从赌场搬到了市场。

作为普林斯顿纽波特合伙公司的联合创始人，索普运行该规则近二十年：该基金从1969年到1988年以每年19.1%的速度复利增长，超过同期标普500指数涨幅的两倍，且从未有过亏损年份。寻找优势和下注规模是两个独立的学科，而正是第二个让第一个得以存活。

最大化期望对数资本，而非期望利润

对数在重复下注中是可加的，因此大数定律适用于增长率；期望财富则不然，这就是为什么最大化期望财富会允许破产的发生。

过度下注会将正优势转化为负增长率——该论文表明，下注者即使拥有有利赔率，若投入过多资金，仍会以概率一破产。

增长率上限将下注规模与信息优势本身挂钩：私人线路越好，值得冒险的比例就越大，使仓位管理成为一个测量问题。

对于数十年间反复交易的基金而言，该准则回答了决定生存的问题：可以投入多少资金，才能使回撤永远不会终结游戏。

拥有优势和存活到复利增长是不同的问题。最大化单次下注的期望利润仍会破产；最大化期望对数财富才能最大化你实际经历的路径。

该准则从贝尔实验室经由赌博传播到量化金融：索普的二十一点策略于1961年发表在PNAS上，1966年出版《击败庄家》，而普林斯顿纽波特从1969年到1988年19.1%的复利增长且无亏损年份，使对数最优仓位管理成为量化行业的标准。该基金于1988年因一名无关员工的证券监管问题而结束，并非因策略本身。如今，凯利的名字与市场、体育博彩乃至每日杠杆设计中的仓位管理争论紧密相连。