Park與Pham以六頁證明透過覆蓋解決Kahn-Kalai猜想

隨機圖會突然獲得三角形或哈密頓迴路等性質：在某個機率以下，該結構幾乎從不出現；略高於該機率，則幾乎總會出現。精確閾值難以計算，因此數學家使用一個容易求得的下界，即期望閾值；2006年，Jeff Kahn與Gil Kalai猜想真實閾值永遠不會超過它一個對數因子以上。這個主張甚至對其作者而言都顯得過強，他們花了數年尋找反例，然而它仍成為核心未解問題，因為它幾乎能機械式地解決閾值問題。

通往該猜想的公認路徑，是經由Michel Talagrand提出的較弱版本，該版本以分數變體取代期望閾值。Kahn、Jinyoung Park與同事於2021年證明了該版本，引進了2019年向日葵突破的技術，以及一個稱為「散布」（spread）的概念；Kahn本人表示，他一直認為證明該等價性是通往完整猜想的唯一途徑。與此同時，Park與Huy Tuan Pham正在研究另一個Talagrand問題，卻意識到他們的想法比表面上看起來更有力。

在2022年3月的一個不眠之夜裡，他們找到了直接論證。他們沒有使用「散布」——它對原始猜想不提供起點——而是轉換視角，以覆蓋（covers）改寫該主張：若一個隨機集合不太可能包含任何目標結構，則該結構族存在一個小覆蓋，其對期望閾值的貢獻很小。他們透過逐塊取樣構造該覆蓋，並以計數論證收尾，一週後於2022年3月31日發表了這篇六頁論文。

同事們反應震驚：Kalai稱其驚人地簡單且巧妙，Jacob Fox稱該證明神奇，David Conlon則說它直接擊穿了公認的路線圖。由於該猜想是就抽象集合表述，該證明一次解決了數百個具體閾值陳述，並留下一個他人預期可重複使用的技術。Quanta於2022年4月25日報導了此結果，而Park與Pham開始將該方法應用於更精細的問題：閾值之間的差距何時小於最壞情況。

以覆蓋重新表述並直接計數它們

覆蓋直接作用於原始的期望閾值：目標結構的小覆蓋對加權平均的貢獻很小，因此無需將其弱化為分數替代物。

以逆否命題改寫該主張，將機率保證轉化為構造任務：構造一個小覆蓋，而逐塊取樣可以完成此事。

計數論證提供了缺失的推力，因此該證明從不需要該領域認為是唯一橋樑的「散布—分數」等價性。

六頁意味著整個社群能立即閱讀並採用該論證，這就是為何資深數學家稱其神奇，而不僅僅是正確。

當所有人都假定經由較弱版本的迂迴是唯一路徑時，質疑該假定：改變你表述問題的方式，可以使直接攻擊變得簡短

兩人於2022年3月31日將〈A Proof of the Kahn-Kalai Conjecture〉投稿至arXiv（2023年4月13日修訂）。Quanta Magazine於2022年4月25日以「隨機結構湧現的優雅六頁證明」為題報導，該故事於2022年4月26日在Hacker News獲得589點與166則評論。Park與Pham隨後將該方法轉向更精細的問題：期望閾值與真實閾值之間的差距何時小於對數最壞情況，而該領域仍須逐案釐清。