帕克与范姆用六页证明攻克卡恩-卡莱猜想

随机图会突然获得某些性质，如包含三角形或哈密顿圈：当概率低于某个阈值时，结构几乎从不出现；一旦高于阈值，则几乎必然出现。精确阈值难以计算，因此数学家利用一个简单的下界——期望阈值；2006年杰夫·卡恩和吉尔·卡莱猜想真实阈值不会超过期望阈值乘以一个对数因子。这个猜想强到连其提出者都怀疑，他们花数年寻找反例，但它却成为核心开放问题，因为若能证明，就能几乎机械地解决阈值问题。

公认的证明路径需先证明米歇尔·塔拉格兰提出的弱化版本，该版本用分数变体取代期望阈值。2021年，卡恩、Jinyoung Park及同事证明了该版本，引入了2019年向日葵突破的技术和"spread"概念；卡恩本人表示一直认为证明等价性是通往完整猜想的唯一路径。与此同时，Park和Huy Tuan Pham正研究另一个塔拉格兰问题，并意识到他们的想法比表面看起来更有力。

2022年3月的一个不眠之夜，他们找到了直接论证。他们放弃对原猜想无起始点的"spread"，转而用覆盖来改写主张：如果随机集不太可能包含任何目标结构，那么目标结构族有一个小覆盖，且该覆盖对期望阈值的贡献很小。他们通过逐块采样来构造该覆盖，并以计数论证收尾，一周后即2022年3月31日发布了这篇六页论文。

同行反应震惊：卡莱称其极其简单且巧妙，雅各布·福克斯称证明是魔法般的，大卫·康伦说它直接击穿了预设路线图。由于该猜想针对抽象集合表述，证明一次性解决了数百个具体阈值问题，留下可供他人反复使用的技术。Quanta杂志于2022年4月25日报道此事，Park和Pham随后应用该方法探索更精细的问题：何时阈值差小于最坏情况的对数因子。

用覆盖重新表述问题并直接对覆盖计数

覆盖直接作用于原始期望阈值：目标结构的小覆盖对应加权平均的小贡献，因此无需弱化为分数替身。

逆否改写将概率保证转化为构建任务：构建一个小覆盖可用逐块采样达成。

计数论证补上缺失环节，所以证明无需spread到分数的等价性，而那曾是学界认为的唯一桥梁。

六页篇幅让整个学界能立即阅读并采用，因此资深数学家称之为魔法而不是仅仅正确。

当所有人都认为必须绕道弱化版本时，质疑这个假设：改变问题的表述方式可能让直接攻击变得简短。

两人于2022年3月31日将《卡恩-卡莱猜想的证明》提交至arXiv（2023年4月13日修订）。Quanta杂志于2022年4月25日以"随机结构出现的优雅六页证明"报道，故事在2022年4月26日的Hacker News上获得589分和166条评论。随后，Park和Pham将方法转向更精细问题：何时期望阈值与真实阈值之差小于对数最坏情况，这在当时仍需逐案处理。