案例库 · 研发与科研 · 技术决策 · 2004–2006

压缩感知从远少于常规的样本中恢复稀疏信号

Candès、Romberg和Tao证明了，通过ℓ1最小化可以从远低于奈奎斯特率的测量中重建稀疏信号。

加州理工学院

解法

经典采样理论认为，必须至少以信号带宽的两倍速率进行采样。Candès、Romberg和Tao提出疑问：如果信号是稀疏的（即大部分元素为零），是否可以从远少于常规的、随机选择的测量中恢复该信号？

他们在2004至2006年间发表的结果表明，可以，通过凸优化：在满足测量约束的解中找到ℓ1范数最小的解。他们证明，在均匀不确定性原理下，ℓ1最小化能精确恢复稀疏信号，且误差与测量噪声成正比。

该结果适用于高斯随机矩阵和随机傅里叶采样，并扩展到图像和更高维度。该理论将“欠定问题”从障碍转变为设计机会：测量更少，重建更多。

取得的成效随机采样；通过ℓ1最小化恢复神来之笔

瓶颈往往在于恢复规则，而非数据本身。利用已知的结构，更换目标函数（用ℓ1代替ℓ2），即可从过少的样本中提取信号。

压缩感知发展为一个研究领域，应用于MRI、单像素相机、雷达和天文学等领域，这些场景中获取每个样本代价高昂；维基百科的综述文章列出了这些应用。

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